Momentum Linier dan Anguler

Momentum Linier

Untuk sebuah partikel dengan massa m dan bergerak dengan kecepatan v, didefinikan mempunyai momentum :

                                      p = m v.

Untuk n buah partikel, yang masing, masing dengan momentum p₁, p₂ , ... ,  p_n, secara kesuluruhan mempunyai momentum P,

                            

                                      P = p₁ + p₂ + ... +  p_n

                                      P = m₁v₁ + m₂v₂ + ...  + m_n v_n

                  

                                      P = M v_pm

“Momentum total sistem partikel sama dengan perkalian massa total sistem partikel dengan kecepatan pusat massanya”.

                                     

                                      dP/dt = d(Mv_pm)/dt

                                                   = M dv_pm/dt

                                      dP/dt = M a_pm

Jadi

                                      F_eks = dP/dt

 KEKEKALAN MOMENTUM LINEAR

Jika jumlah semua gaya eksternal sama dengan nol maka,

                                      dP/dt = 0

atau

                                      P = konstan

Bila momentul total sistem P = p₁ + p₂ + ... +  p_n, maka

         

                                      p₁ + p₂ + ... +  p_n = konstanta = P₀

Momentum masing-masing partikel dapat berubah, tetapi momentum  sistem tetap konstan.

 SISTEM DENGAN MASSA BERUBAH

 

        t                                                       t + Dt       

                        M                                             DM              M - DM

                                   v                         u                                   v + Dv

 

Sebuah sistem bermassa M dengan pusat massa bergerak dengan kecepatan v. Pada sistem bekerja gaya eksternal Feks.

Selang waktu Dt sistem melepaskan massaDM yang pusat massanya bergerak dengan kecepatan u terhadap pengamat dan massa sistem berubah menjadi M - DM dan kecepatannya menjadi v + Dv.

Dari hukum Newton,

                                      F_eks  = dP/dt

                                      F_eks  @ DP/Dt = (P_f -P_i)/ Dt

 dengan P_i adalah momentum mula-mula = M v, dan

               P_f adalah momentum akhir = (M - DM) (v + Dv) + DM u

                                      F_eks  @ [{(M - DM) (v + Dv) + DM u} - M.v ] /Dt

                                      F_eks  = M Dv/Dt + [ u - (v + Dv) ] DM/Dt

Untuk Dv® 0,  

                             Dv/Dt ® dv/dt

                             DM/Dt ® - dM/dt

                             Dv ® 0

maka          F_eks  = M dv/dt + v dM/dt - u dM/dt

atau

                             F_eks  = d(Mv)/dt  - u dM/dt

atau

                             F_eks  = M dv/dt + (v - u) dM/dt

                             M dv/dt = F_eks + (u - v) dM/dt

dimana (u - v) merupakan kecepatan relatif massa yang ditolakkan terhadap benda utamanya.

                             M dv/dt = F_eks + v_rel dM/dt

Untuk kasus roket, v_rel dM/dt merupakan daya dorong roket.

         

 IMPULS dan MOMENTUM

          Dalam suatu tumbukan, misalnya bola yang dihantam tongkat pemukul, tongkat bersentuhan dengan bola hanya dalam waktu yang sangat singkat, sedangkan pada waktu tersebut tongkat memberikan gaya yang sangat besar pada bola. Gaya yang cukup besar dan terjadi dalam waktu yang relatif singkat ini disebut gaya impulsif.

                v                                                                      v’

 

Perubahan gaya impulsif terhadap waktu ketika terjadi tumbukan :

 

                        F(t)

 

                Fr

                                                                                                                                                                                                                                                                                                            t                                                           Dt

Tampak bahwa gaya impulsif tersebut tidak konstan. Dari hukum ke-2 Newton diperoleh

                                      F = dp/dt

                                       t_f           p_f

                                      ò F dt = ò  dp

                                      t_i           p_i

                                     t_f           

                             I = ò F dt = Dp = Impuls

                                 t_i           

Dilihat dari grafik tersebut, impuls dapat dicari dengan menghitung luas daerah di bawah kurva F(t) (yang diarsir). Bila dibuat pendekatan bahwa gaya tersebut konstan, yaitu dari harga rata-ratanya, F_r , maka

                             I = F_r  Dt = Dp

                             F_r  = I /Dt  =Dp/Dt

          “ Impuls dari sebuah gaya sama dengan perubahan momentum partikel “.

 KEKEKALAN MOMENTUM DALAM TUMBUKAN

 

   F₁₂                                                                                        F₂₁

                             m₁     m₁               m₂

Dua buah partikel saling bertumbukan. Pada saat bertumbukan kedua partikel saling memberikan gaya (aksi-reaksi),  F₁₂  pada partikel 1 oleh partikel 2 dan F₂₁ pada partikel 2 oleh partikel 1.

Perubahan momentum pada partikel 1 :

                                         t_f           

                             Dp₁=  ò F₁₂  dt  = Fr₁₂ Dt

                                     t_i           

Perubahan momentum pada partikel  :

                                         t_f           

                             Dp₂ =  ò F₂₁  dt  = Fr₂₁ Dt

                                      t_i           

Karena F₂₁ = - F₁₂  maka  Fr₂₁ = - Fr₁₂

oleh karena itu     Dp₁  = - Dp₂

Momentum total sistem : P = p₁ +  p₂  dan perubahan momentum total sistem :                       

                                                DP  = Dp₁  + Dp₂  = 0

          “Jika tidak ada gaya eksternal yang bekerja, maka tumbukan tidak mengubah momentum total sistem”.    

                                     

Catatan : selama tumbukan gaya eksternal (gaya grvitasi, gaya gesek) sangat kecil dibandingkan dengan gaya impulsif, sehingga gaya eksternal tersebut dapat diabaikan.

Momentum Anguler

MOMENTUM ANGULER adalah hasil kali (cross product) momentum linier dengan jari jari R. Jadi setiap benda yang bergerak melingkar pasti memiliki momentum anguler.
L = m v R = m w R²
L = p R
Momentum anguler merupakan besaran vektor dimana arah L tegak lurus arah R sedangkan besarnya tetap.
Jika pada benda bekerja gaya F tetap selama waktu t, maka IMPULS I dari gaya itu adalah:

t1 I = ò F dt = F (t2 - t1)      t2 I = Perubahan momentum Ft = m v akhir - m v awal

Impuls merupakan besaran vektor. Pengertian impuls biasanya dipakai dalam peristiwa besar dimana F >> dan t <<. Jika gaya F tidak tetap (F fungsi dari waktu) maka rumus I = F . t tidak berlaku.
Impuls dapat dihitung juga dengan cara menghitung luas kurva dari grafik gaya F vs waktu t.

Jika momentum linear adalah momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus, maka momentum sudut merupakan momentum yang dimiliki oleh benda-benda yang melakukan gerak rotasi. Dikatakan sudut, karena ketika melakukan gerak rotasi, setiap benda mengitari sudut tertentu. Dalam hal ini, benda berputar terhadap poros alias sumbu rotasi.

Persamaan momentum sudut itu mirip dengan persamaan momentum linear. Kita tinggal menggantikan besaran-besaran linear (besaran gerak lurus) pada persamaan momentum dengan besaran-besaran sudut (besaran gerak rotasi). Gurumuda tulis persamaan momentum lagi ya…

p = mv

Ini adalah persamaan momentum untuk benda-benda yang bergerak pada lintasan lurus. Jika dalam gerak lurus setiap benda (benda dianggap sebagai partikel tunggal) mempunyai massa (m), maka di dalam gerak rotasi, setiap benda tegar (benda dianggap tersusun dari banyak partikel) mempunyai momen Inersia (I). Temannya massa tuh momen inersia. Jadi untuk menurunkan persamaan momentum sudut, kita bisa menggantikan massa (m), dengan momen inersia (I).

Ketika sebuah benda melakukan gerak lurus, benda tersebut bergerak dengan kecepatan (v) tertentu. Dalam hal ini, setiap bagian benda itu mempunyai kecepatan yang sama. Misalnya ketika dirimu kebut2an di jalan dengan motor kesayanganmu, bagian depan motor, bagian bawah, samping kiri, samping kanan, atas dan bawah selalu bergerak dengan kecepatan yang sama. Sstt.. kecepatan = kecepatan linear. .Jangan lupa ya… Bagaimanakah dengan gerak rotasi ?

Ketika sebuah benda melakukan gerak rotasi, setiap bagian benda itu juga punya kecepatan linear, tapi kecepatan linearnya berbeda-beda. Misalnya jika dirimu mendorong pintu rumah, bagian tepi pintu bergerak lebih cepat (v besar), sedangkan bagian pintu yang ada di dekat engsel, bergerak lebih pelan (v kecil). Walaupun kecepatan linear setiap bagian benda berbeda-beda, kecepatan sudut semua bagian benda itu selalu sama. Silahkan mendorong pintu rumah lagi… Ketika kita mendorong pintu, semua bagian pintu itu, baik tepi pintu maupun bagian pintu yang ada di dekat engsel, berputar menempuh sudut yang sama, selama selang waktu yang sama. Jika pintu berhenti berputar, semua bagian pintu itu ikut2an berhenti berputar (kecepatan sudut = 0). Mirip seperti jika dirimu menghentikan sepeda motor, maka semua bagian sepeda motormu itu ikut2an berhenti bergerak (kecepatan = 0).

Jadi, jika dalam gerak lurus terdapat besaran kecepatan, maka dalam gerak rotasi terdapat besaran kecepatan sudut. Untuk menurunkan persamaanmomentum sudut, kita bisa menggantikan kecepatan (v), dengan kecepatan sudut (omega). Nah, sekarang kita langsung menulis persamaan alias rumusmomentum sudut…

Satuan momentum sudut adalah kg m²/s. Satuan ini berasal dari mana-kah ? Guampang kok, oprek saja rumus momentum sudut. Hajar tuh momentum sudut….

HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT

Momentum sudut yang telah kita pelajari sebelumnya, merupakan konsep yang penting dalam fisika. Momentum sudut merupakan dasar dari hukum kekekalan momentum sudut. btw, hukum itu berbeda dengan prinsip. Dalam fluida, kita mengenal prinsip archimedes, prinsip pascal dkk. Prinsip itu hanya berlaku untuk kondisi tertentu saja. Hukum itu berlaku universal alias umum.

Hukum Kekekalan Momentum Sudut menyatakan bahwa :

Jika Torsi total yang bekerja pada sebuah benda tegar = 0, maka momentum sudut benda tegar yang berotasi bernilai konstan.

Hukum kekekalan momentum sudut ini merupakan salah satu hukum kekekalan yang penting dalam fisika. Secara matematis, pernyataan Hukum Kekekalan momentum Sudut di atas bisa dibuktikan dengan mengoprek persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi versi momentum.

Keterangan :

Penerapan Kekekalan Momentum Sudut

Kekekalan momentum sudut ini biasa digunakan oleh pemain akrobat, penyelam atau penerjun, penari balet, pemain ice skating, kucing dkk… tikus juga kayanya